Lokální extrémy
Definice. Nechť \(f:G\to\mathbb{R}\) je funkce definovaná na otevřené množině \(G\subset\mathbb{R}^{n}.\) Řekneme, že funkce \(f\) nabývá v bodě \(x\in G\) lokální minimum (resp. lokální maximum), existuje-li \(\delta>0\) tak, že \[\lvert x-y\rvert_e<\delta\implies f(x)\le f(y),\ \ {\rm resp.}\ f(x)\ge f(y).\]
Věta. Nechť \(f:G\to\mathbb{R}\) nybývá v bodě \(x^{0}\in G\) lokální extrém a nechť pro každé \(i\in\{1,\ldots,n\}\) existuje parciální derivace \(\frac{\partial f(x^{0})}{\partial x_{i}}.\) Pak pro každé \(i\in\{1,\ldots,n\}\) \[\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x^{0})=0.\]
Definice. Funkci \(q:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R},\) která je dána předpisem \[q(x)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{i,j}x_{i}x_{j},\] kde \(a_{i,j}\in\mathbb{R}\) jsou konstanty nazýváme kvadratickou formou na prostoru \(\mathbb{R}^{n}.\) Kvadratická forma \(q:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\) se nazývá pozitivně definitní (negativně definitní), jestliže pro každý nenulový vektor \(\xi=(\xi_{1},\ldots,\xi_{n})\neq(0,\ldots,0)\) platí \[\sum_{i,j=1}^{n}a_{i,j}\xi_{i}\xi_{j}>0\ \ \ {\rm resp.} \sum_{i,j=1}^{n}a_{i,j}\xi_{i}\xi_{j}<0.\]
Věta. Nechť \(f:G\to\mathbb{R},\) kde \(G\subset\mathbb{R}^n\) je otevřenou množinou a \(f\in C^{2}(G,\mathbb{R}).\) Dále nechť \(x^0\in G\) je stacionárním bodem funkce \(f,\) tj. pro každé \(i\in\{1,\ldots,n\}\) je \(\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)=0\) a nechť je kvadratická forma \[q(\xi)=\sum_{i,j=1}^{n}\frac{\partial^{2} f}{\partial x_i\partial x_j}(x^0)\xi_i\xi_j\] pozitivně definitní (negativně definitní). Potom funkce \(f\) nabývá v bodě \(x^0\) lokální minimum (lokální maximum.)
Důkaz. Předpokládejme například, že forma \(q(\xi)\) je pozitivně definitní. Protože je \(q\) spojitou funkcí na \(\mathbb{R}^n\) a jednotková sféra \(S_{\mathbb{R}^n}=\{\xi\in\mathbb{R}^n\mid \lvert \xi\rvert_e=1\}\) je kompaktní množinou, nabývá na \(S_{\mathbb{R}^n}\) funkce \(q\) své absolutní minimum v jistém bodě \(\hat{\xi}\in S_{\mathbb{R}^n}.\) Pak z pozitivní definitnosti formy \(q\) plyne, že pro každé \(\xi\in S_{\mathbb{R}^n}\) je \[q(\xi)\ge q(\hat{\xi})>2m>0\] pro jistou konstantu \(m>0.\) Nyní položme \[M=\max\{\sum_{i,j=1}^n\lvert \xi_i\xi_j\rvert\mid \xi\in S_{\mathbb{R}^n}\}\] a \(\varepsilon=m/M.\) Odtud díky spojitosti parciálních derivací druhého řádu vyplývá existence \(\delta>0\) tak, že \[\lvert y-x^0\rvert_e<\delta\implies \left\lvert\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(y)-\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x^0)\right\rvert<\varepsilon\] pro \(i,j=1,\ldots,n.\) Pak máme dále \[\begin{split} &\lvert y-x^0\rvert_e<\delta\wedge\xi\in S_{\mathbb{R}^n}\implies\\ &\implies \left\lvert\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(y)\xi_i\xi_j-\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial^n f}{\partial x_i\partial x_j}(x^0)\xi_i\xi_j\right\rvert\\ &\le\sum_{i,j=1}^n\left\lvert\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(y)-\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x^0)\right\rvert\lvert\xi_i\xi_j\rvert\le\varepsilon\sum_{i,j=1}^n\lvert\xi_i\xi_j\rvert\le M\varepsilon=m.\, \end{split}\] Tudíž jestliže \(\lvert y-x^0\rvert<\delta\) a \(\xi\in S_{\mathbb{R}^n}\) , potom je \[\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(y)\xi_i\xi_j>m>0.\] Nechť je \(\lvert y-x^0\rvert<\delta\), pak existuje v důsledku Věty [taylor_viceprom] bod \(x\in(x^0,y)\) tak, že \[\label{eq:1} \begin{split} f(y)&=f(x^0)+\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)(y_i-x^0_i)+\\ &\quad +\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x)(y_i-x^0_i)(y_j-x^0_j)\,. \end{split}\] Neboť \(x^0\) je stacionárním bodem funkce \(f\), je \(\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)(y_i-x^0_i)=0.\) Dále pak \(\lvert x-x^0\rvert_e<\delta\) a tudíž pro každé \(\xi\in\mathbb{R}^n,\) \(\lvert\xi\rvert_e>0\) je \(\xi/\lvert\xi\rvert_e\in S_{\mathbb{R}^n}\) a \[\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x)\frac{\xi_i}{\lvert\xi\rvert_e}\frac{\xi_j}{\lvert\xi\rvert_e}>m\] \(\implies\) \[\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j }(x)\xi_i\xi_j>m\lvert\xi\rvert_e^2>0.\] Nyní ze vztahu ([eq:1]) plyne, že pokud \(\lvert y-x^0\rvert_e<\delta,\) potom existuje \(x\in(x^0,y)\) tak, že \[f(y)=f(x^0)+\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x)(y_i-x^0_i)(y_j-x_j^0)>f(x^0).\] Tedy funkce \(f\) nabývá v bodě \(x^0\) (ostré) lokální minimum. Důkaz probíhá analogicky v případě lokálního maxima. \(\Box\)
Zde je notebook obsahující výpočty lokálních extrémů a další věci.